Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 6. Апроксимація функцій, що належать до (С) і (L(r)) 63 Послідовність {xn(t)} називається повною в просторі (С), якщо для довільної функції g (t), обмеженої варіації, з умови і fxn (t) dg = 0, для кожного п =¦ 1, 2, . . ., випливає рівність о g (0) = g (t) = g (1), за можливим винятком не більш ніж зчислен- ної множини значень t. Послідовність функцій {хп (t)}9 де хп (t) ? (LW) і 0 < і < 1, називається замкненою в (ї(г)), якщо для кожної функції х (t) G (?(г)) існує послідовність {дп} функцій, вигляду дп (t) = = І/ос^Яі^), збіжних в середньому г-го степеня до x(t), тобто 1=1 така, що X Нт/|ж(0 — 9п {t)\r dt = O. Послідовність {хп (t)} називається повною в (LW), якщо для всякої вимірної і обмеженої функції д (t) або функції д (t), що належить до (?(s)), де [— = 1, залежно від того, чи г = 1, чи г > 1, з умов Т S 1 /хп (t) g (t) dt = 0 для п = 1, 2, . . ., випливає майже всюди рівність ?(*) = 0. Ці два поняття виступають у теорії ортогональних рядів. Легко бачити, що для того, щоб послідовність функцій була замкненою в (О) відповідно (?(г)), необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною (в розумінні означення § 3, ст. 49, цього розділу). Так само, для того, щоб вона була повною, необхідно і достатньо, щоб вона була тотальною (в розумінні означеному там же). Справді, досить пригадати загальну формулу лінійних функціоналів в (С) та в (І/г)), подану на ст. 51 та 62—55. Нарешті, як наслідок з теореми 7, ст. 49, робимо висновок: щоб послідовність функцій була повною в (С) чи відповідно в (?(г)), необхідно і достатньо, щоб вона була зсСмкненою. Аналогічно можна визначити поняття послідовностей замкнених і послідовностей повних у просторах (с) і (Z(r)). % 6. Апроксимація функцій, що належать до (Є) і {Ь{г))щ за допомогою лінійних комбінацій функцій. Теорему 6, ст. 49, також можна інтерпретувати в різних окремих нормованих просторах. Ось два приклади: |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)