Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
64 Розділ IV. Нормовані простори 1. Простір (О). Щоб існували поліноми, утворені з членів послідовності {xn(t)}, де xn(t) ? (С) і О < t < 1, які наблиоісують рівномірно дану функцію х (t) ? (С), необхідно і достатньо, щоб для довільної і функції g (t), обмеженої варіа%\ії, з умов J xn (t) dg — 0, для п = 1, о і 2, ..., випливала рівність Jx (t) dg = 0. о 2. Простори (?(г)). Щоб існували лінійні комбінація, утворені з членів послідовності {xn(t)}9 де xn(t) ? (Z<r>) * 0 < t < 1, які наближували б дану функцію х (t) ? (Z(r>) в середньому r-го степеня, необхідно і достатньо, щоб для довільної функції g (t), вимірної і обмеженої, якщо г = 1, і належної до (L^), де—-\ = 1, якщо r > 1, з умов fg (t) xn {t) dt — O для n = 1, 2, .. . випливала б рівність о і fg(t)x(t)dt = O. b § 7. Проблема моментів. Перейдемо до застосувань теореми 5, ст. 48. Проблема моментів полягає в тому, щоб для даної послідовності функцій {срг-} і послідовності чисел {сі}, визначити умови існування функції /, що задовольняла б нескінченну кількість рівнянь ь ffytdt^Ci, де ї = 1,2, ... (33) а Ми дамо розв'язання цієї проблеми в двох окремих випадках нормованих просторів. Одержимо їх за допомогою відповідної інтерпретації теореми 5, ст. 48, в цих просторах. І. Простір (С). Нехай х( = xt (t), де 0 < t < 1, є неперервна функція. Внаслідок того, що кожний лінійний функціонал / (х) в (О) (див. ст. 51) мав вигляд j{x) =/# (t) dg, де варіація g (t) = J / |, та на основі о теореми 5, ст. 48, одержуємо теорему1: Щоб існувала функція g (t), для якої варіація g (t) < 0<t<l і Цю теорему знайшов F. Riesz (див. праці F. Riesz і Е. Helly, подані паст. 47). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)