Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ V. ПРОСТОРИ ТИПУ (В). § 1. Лінійні операції в просторах типу (В). Доведемо тут деякі загальні теореми, що стосуються до просторів Е типу (В)1, для яких властивість, що вони є не тільки нормовані, але також повні, є істотною властивістю. Теорема 1. Ятір F(x) операція вимірна (В) і U(x) адитивна операція, обидві означені в Е і такі, що \F(x) | > | Ща?) | для всіх х ?Е, то операція U(x) б лінійна. Доведення. Зважаючи на теорему 4, Вступ, ст. 17, існує така множина Н CZ Е першої категорії, що операція і7 (а:) є в Е —.Я неперервна. Отже, для хо?Е — Я існує такег > 0.і такеМ > 0, що з | х — хо\ < г І U(x) | < \F(x) І < М для всіх х ?Е—Н. (1) Множина точок х ? Е — Н, для яких | х — х0 | < -^-, e другої категорії; тим більше, множина G точок вигляду х' -\- х, де т т І х' І < —, х?Е—Н і \х — яг0 | <-jr- є другої категорії. Отже, в G існує елемент я' + хг ? Е — Н, де хх ? Е — Н. А тому що т < —, то маємо | х1 + я?! — я0 | < г, звідкп, на підставі (1), : | U(x' +»i)| + | Ї7(ж) | <2Ж Значить норма операції U(x) в обмежена в сфері | х \ < -- і тим самим у кожній сфері. Звідси з теореми 1 (розд. IV, § 2, ст. 45) виходить, що операція U (х) є неперервна. Теорема 2. Якщо для адитивної операції U(x) з lim хп = х вишиває lim | U(xn) | > | U(x) | для кожного х ?Е, то операція U(x) П->оо ? лінійна 2. Доведення. Множина (тп всіх ж ^ Е, які задовольняють нерівність ] U(x) | < ?г, є для кожного п = 1, 2, ... замкнена. А тому що ?/ — то принаймні одна з множин Gn містить у собі сферу, в якій оо 1 Див. означення цих просторів, розд. IV, ст. 45. 2 Див. С. Банах, 1. с. Fund. Math.III (1922), ст. 153, теор. 3. 5* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)