Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
68 Розділ V. Простори типу (В) норма операції U(x) є обмежена, звідки, подібно до попередньої теореми, випливає неперервність операції U(x). Теорема 3. Якщо послідовність лінійних операцій {Un (re)}, означених у просторі Е, збігається в множиш <?, ще є всюди густа в сфері К і якщо послідовність норм {\Un\} в обмежена, то послідовність операцій {Un (х)} збігається в грілому просторі Е \ Доведення. Якщо дано х0 ? ІГ, то за умовою існує така послідовність {#п}, що xn?G, для » = 1, 2, ... і Km хп = х0. Отже, для довільних трьох чисел пу р і q маємо: ІVpM—Uqfro) І <ІUp(x0 — хп) Г+ І Uq(zn—x0)\ + I Up{xn) — Uq{xn)\, тему ]im\Up(x0) — Uq(x0)\ <2if \х0 — хп\9 де М = lim звідки, зважаючи на рівність lira \х0 — хп\ =0, маємо рівність Л->00 lim | Up (х0) — Uq (х0) | == 0, з якої випливає збіжність послідовності Un (х0). Якщо дано довільний елемент х ? Е і х'о позначає зокрема центр сфери К, то існує таке є > 0, що х'о -{- єх ?К, тобто, що послідовність Un (хо + z%) e збіжна. Звідси, зважаючи на збіжність послідовностей Un (х'о) і Un (х'о + єх), випливає збіжність послідовності Un (х). Теорема 4, Якщо [Un (x)} в послідовність лінійних опера%\ій, означених в Е, то множина Н всіх елементів х?Е, для яких lim | Un {x) \ < П->00 < оо, є або множиною першої категорії, або тотожна з простором Е2, Доведення випливає з теореми 1 (розд. III, § 1), оскільки множина // є лінійна і вимірна (В). Теорема 5. Якщо для даної послідовності {Un (cc)} лінійних операцій, означених в Е, справедлива нерівність Km j Un (x) \ < оо для коленого х?Е, П->00 то послідовність норм {j Un j } є обмеоісена 3. Доведення. За теоремою 11 Вступу, ст. 18, існує така сфера К (^ Е і таке число N, що для кожного х ? Кіп = 1, 2,... маємо | Un (x) \ < N. 1 Див. С. Банахі Г. Штейнгау з, 1. с, Fund. Math. IX (1927), ст. 53. 2 Там же, ст. 55. 3 Там же, ст. 57. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)