Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Принцип згущення особливостей 69 2N Позначивши через г радіус сфери К, лагко побачимо, що | Un | < — для № = 1,2,... Теорема б. Якщо послідовність {хп} елементів простору Е має таку властивість, що для кожного лінійного функціонала f (х), означеного в Е, маємо lim |/(#n)| < оо, то послідовність норм {\хп\\ є обмежена. Доведення. Множина Е всіх лінійних функціоналів, означених в Е, утворює (якщо приймемо означення норми, дане для цих функціоналів) простір типу (В). Справді, нехай {/„} збіжна послідовність в простору Е> тобто lim (/„,—/п|=0. Тоді для кожного П->ОО х ?Е |fm (х) —/„ {х) | < |/т —/п| • \х\ і тим самим послідовність чисел (/()} збіжна. Позначимо її границю через / {х). Маємо: lim/„(#) = П->00 = / {х) при кожному х ? Е. Адитивність функціонала / (х) очевидна. Для довільного є > 0 доберемо т таке, щоб при п > т було |/т—/п І < є. Зафіксувавши т у нерівності | fm {ОС) —jn ІРС) і < | fm —/„ | • | Я | < Є • | Я | , перейдемо до границі при п -> оо. Одержимо j /m (x) — / (х) \ < є. Звідси функціонал /т (х)—/ (х), а тим самим і / (х) — лінійний і \fm—/| < є- Отже, послідовність {/т} збігається до / ?Е. Означимо в Е послідовність функціоналів {Fn}, покладаючи Fn(f) =f (xn) для кожного / ?Е. З умови lim | / (хп) | < сю випливає завжди lim Fn (/) j < оо для кожного / = Е. Отже, на П->оо підставі теореми 5, існує таке число N, що | Fn (/) | < N • | / | для кожного п = 1, 2, ... З другого боку, тому що хп ?Е, то для кожного п = 1, 2, ..., за теоремою 3 (розд. IV, §2), ст. 46, існує такий лінійний, функціонал /п(#)> означений в Е, що маємо х і |/п| = і. Отже, для будь-якого п маємо j xn Fn (fn) j < N • | /п | = N, що й треба було довести. fn (a?n) fn § 2. Принцип згущення особливостей. Теорема 7. Коли в Е дано таку подвійну послідовність {Upq(x)} лінійних операцій, гцо lim | Upq ] = оо для кожного р = 1, 2, ..., (2) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)