Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
70 Розділ V. Простори типу (В) то існує така множина G (Z.E {незалежна від р) другої категорії в Е, що для всякого х ? G маємо: lim | Upq (х) | — оо для комсного р = 1, 2, ...1 (3) Доведення. Множина Нр всіх тих елементів х ? Е, що задовольняють нерівність lim | Upq (х) | < оо, не може дорівнювати Е, бо це на підставі теореми 5, ст. 68, суперечило б умові (2). Звідси, згідно з теоремою 4, ст. 68, виходить, що #р, а тим самим і множи- 00 на Н = 2! Нр тих всіх елементів х ? Е, що не задовольняють умо- ви (3), є першої категорії в Е. Залишається тільки покласти G = = Е— Н. Зауваження. Протиобласті Ер послідовностей {Upq$ можуть змінятися разом з р = 1, 2, .. ., але для даного р вони повинні бути однакові при всіх значеннях q, оскільки в теорему 7 входить поняття збіжності послідовностей {Upq (#)} при необмеженому зростанні q. Теорема 7, разом з теоремою 6 (розд. І, § 4), ст. 22, утворюють з функціональної точки зору те, що називають, звичайно, принципом згущення особливостей. Пояснимо це на прикладах2. Нехай {gk{t)} e ортогональна і нормована послідовність функцій сумовних з квадратом в інтервалі [0, 1]. Якщо х (t) — будь-яка функція, інтегрована в [0, 1], то ряд 00 9k{t) gk(s)x(s)ds 5 називається розкладом функції х (t) за послідовністю (<7& {Щ (якщо тільки, очевидно, існують інтеграли J gk (s) x (s) ds для h — 1, о 2, . . .). Маємо такі теореми, наприклад, у просторах (С) і (L): В просторі (С). Якщо для даної послідовності точок {tp)> інтервали [0, 1], для кожного р = ї9 2, . . ., існує неперервна функція хр (?), розклад якої в точці tp є розбіжний, відповідно необмежений, то існує неперервна функція х (і), розклад якої є розбіжний, відповідно необмежений для кожної точки tpj де р = 1, 2, ... 1 Там же, ст. 54, теорема 1. 2 Там же, ст. 56-61. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)