Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Простори типу (В) з компактною сферою 71 Доведення випливає з теореми 7, ст. 70, і з теореми 6 (розд. І, § 4), ст. 22, коли покласти UPq (х) = Zgk (tp)fgk {s) x {s) ds, fc=l 0 a Upq(x) вважати за лінійні функціонали в просторі (С). В просторі (L). Якщо для даної послідовності інтервалів {[ар, $р]} розміщених в [0, 1], для кожного р = 1, 2, ... існує інтегровна функція хр (t), розклад якої задовольняє властивість Jp «і lim/ | sn (t) I dt = оо, де sn (t) = 2 gk(t)fgk (t) xp (t) dt, то існує інтегровна функція х (t), розклад якої має цю властивість одночасно для всіх інтервалів [ар, рр]. Доведення випливає з теореми 7, ст. 70, коли покласти я J Upq (х) = ? 9k{t)fgk (t) x (t) dt для ар < і < %, a Upq (x) розглядати як лінійні операції, означені в просторі функцій, інтегровних в [0,1], протиобласті яких лежать відповідно в просторах фуНКЦІЙ, ІНТеГрОВНИХ В [<Хр, (Зр]. Зауваження. Зокрема, якщо точки з координатами ар, % утворюють густу множину в квадраті (0, 1; 0, 1), то подана властивість функції х (t) дійсна в кожному інтервалі [а, (3], що лежить в [0, 1]. Базуючись на цьому зауваженні, можна довести, що для рядів Fourier існує така інтегровна функція х (t), що задовольняє умову lim 7Ь>со Jsn{t)dt = оо для кожного інтервала [a, p] d [0, 2 тс]. § 3. Простори типу (В) з компактною сферою. Лема. Якщо дано замкнену лінійну множину G, яка є справжньою підмножиною лінійної множини D (^Е, то для кожного числа є > 0 існує таке х0 ? D, що маємо | #0 | = 1 і | #0 — #|>1 — є для кожного х ? G. Доведення. Нехай: х' ?D—G, d — віддаль елемента х' від G, а т) — будь-яке додатне число. Тоді існує таке у' ? G, що d < | х' — у' | < d + т). Покладемо х0 = r—f ^-j. Отже, для кож- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)