Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
72 Розділ V. Простори типу (В) ного х ? G маємо ( х0 — х І = г— п Ля! — у' — І х! — г/ І • х 1. . • и І а: — У \ А тому що з співвідношень х ? О і yf ?0 випливає то маємо \х0 — х\ > -ї—^ —\ • ^ > -і—;—> звідки, покладаючи І^ — У І ^ *і *^1 •, одержимо 1—є: > 1 — є. Маємо також, очевидно, | xQ | = —;—^J = 1 і х0 ^D, бо od ? D Теорема 8* Якщо кожна замкнена множина елементів з Е> норми яких утворюють обмежену множину, є компактна або, що те саме, якщо сфера компактна, то існує в Е така скінченна послідовність елементів хі9 #2> • • • > х*> Щ° кожний елемент х ? Е має вигляд х = аххг + а?х2 Н \- &гХг, (4) де а13 а2, . . ., аг є числа (залеоіені від х). Доведення. Нехай: хг — такий довільний елемент з Е, що j хх \ = 1 і, де г > 1, такий довільний елемент з Е, що Хг+1 | = 1 І | Хг+і — Хі\ > -^, ДЛЯ І = 1, 2, . . ., Г. (5) Позначимо для кожного г > 1 через <?r множину всіх тих елементів х?Е, що мають вигляд (4), і покладемо D — Е. Коли припустимо, що теорема несправедлива, то будемо мати завжди Gr(ZD , звідки, на основі наведеної леми (для G — Gr, t=~ і хо = = а:г+і), для кожного натурального т існує таке хг+г ? Е, що має властивості (5), тобто така нескіченна послідовність {хҐ}> що | хГ \ = 1 хр — xq | > у Для р ф q. Отже, ця послідовність не мала б жодної збіжної частинної послідовності, вона була б некомпактною множиною, хоч відповідна множина норм була б обмежена, що суперечить умові теореми. § 4. Властивість просторів (L{r)), (c) і (!(г>). Коли застосовуємо теорему 4 (розд. І, § 3), ст. 21, до загальної форми лінійних функціоналів, означених у цих просторах, то одержимо такі теореми. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)