Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 4. Властивість npocmopw (L(r)), (c) і (/(*')) 73 Для (.L(r)), де r > 1. Якщо &(t), де О < t < 1, є вимірна функція і якщо для кожної функції х (t) ? (?(г)) існує інтеграл 1 1 Г fх{І)к (t) dt, то f I a (t) | r^1dt < оо для г > 1, а для г = 1 функція о о а (і) я обмежена \ Доведення. Покладемо для натурального п і ,ч | а (і) для | а (і п ^ ~~ \ п sign а (І) для j а (і) Тоді маємо: | х (t) a (t) \ > | х (t) ап (^) |; отже, звалаючи на те, що lim an (t) = а (і), одержуємо і і lim fx (t) ап (t) dt = fx (t) a (t) dt. і Вираз fx (t) olu (t) dt для n = 1, 2, . .. є лінійний функціонал о в (?(г)) (бо an (t) e обмежена функція); отже, на підставі теореми і 4, ст. 21, fx (t) a (t) dt є також лінійний функціонал. Значить, згідно о з теоремою про загальний вигляд лінійних функціоналів у просторах (ІДГ>), де г > 1 (див. ст, 64), існує така функція / / г \\ і і a (t) G [L^lj, ЩО /я? {t) а («) <Й =/а (t) а (і) Л для всіх х (t) ? (LW). о о Докладаючи *^ ' [0 для t0 < і •< 1, маємо /*а (t) dt = fu. (t) dt для О < t0 < 1, звідки виходить, що майже о о шЛ дійсна рівність а (і) = а (і). Подібно досліджується випадок г = 1. Для (с). і#Ш(0 Зля кожної збіжної послідовності х = ї=і 00 збіжний, то маємо 2\&і\ < оо. z=i п Доведення. 2<*?і для № = 1, 2, ... є лінійний функціонал у про- і=і П оо сторі (с), а тому що lim 2°^Лі— 2*&і> т0 на підставі теореми 4, > І1 І 1 1 Для г>1 цю теорему подав F. Riesz, |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)