Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 5. Простори типу (В), утворені з вимірних функцій 75 00 про реалізацію умови 2, то досить для 2 II хт \\ < оо, функцію х (і) і оо означити рівністю x(t) = 2 xm{t) |. і1 2 I п=і оо Теорема 9. Нехай Е і Ех — два простори типу (В), що задовольняють умови 1, 2 і 3, а К (s, І) — функг^ія, означена в квадраті [0, 1; О, 1]. Якщо для кожного х?Е існує інтеграл і u{s)=fK{s,t)x(t)dt, (6) о для майже кожного значення s і якщо и (s) ? Ev то и (s) є лінійна операція1. Доведення. Покладемо lim \хп — х | = 0 (7) і позначимо через {#п} довільну частинну послідовність послідовності {хіУ Згідно з (7) і умовою 2, в Е існує така частинна послідовність {#ш — х} і таке z ? Е, що для кожного і = 1, 2,... маємо майже всюди \xm(t) — х (t) I <z(?). Очевидно lim as K (s, t) • [xm (t) — x (t)] = 0 i->oo )-(гш — ж)і <\K(s,t)\-z(t). і Крім цього, в множині Я міри 1 існує imer$a,jifK(s,t)z(t)dt, о і бо z?E. Тобто маємо lim [K (s, t) [xm (t) — х (t)] dt = 0, тим са- *+«> о і і мим lim / K (s, t) хщ (t) dt = [K (s, t) x (t) dt для s ? H. *->• о о Отже, тому що кожна частинна послідовність послідовності \un{s) = JK(s,t)xn{t)dt\ містить у собі частинну послідовність, збіжну майже всюди до и (s), маємо lim as un (s) = u (s), а звідси, зважаючи на 3 і теорему 2, ст. 67, виходить, що операція (6) є лінійна. 1 Див. С. Б а н а х, 1. с, Fund. Math. Ill (1922), ст. 166, теор. 2. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)