Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
76 Розділ ІЛ Простори типу (В) § 6. Приклади лінійних операцій в кількох окремих просторах типу (В). Дамо тут деякі застосування теореми 9, що стосуються просторів (if), (С) і (ЇМ)). Простір М. Якщо К (s,t), де 0 < s < 1 і 0 < t < 1, є вимірна і функція і для кожного s маємо [\ К (s, t) | dt < N < оо, то вираз о і U(x)=fK(s,t)x(t)dt (8) о є лінійною операцією, означеною в (Ж), а її протиобласть лежить в (М). Простір (С). Якщо функція К (s, t) є неперервна для 0 < s < 1 і 0 < t < 1, то вираз (8) є лінійною операцією, означеною в просторі (С), протиобласть якої міститься також в (С). Простір (X). Якщо функція К (в, t) є вимірна в квадраті і 0<$<1, 0<г<1 і задовольняє умову JC (s) ds <N < oo, де о C (s) = vrai max ] K (s,t) |, то вираз (8) є лінійною операцією, область О/1 якої є простір (Z), а протиобласть Q (L). Простори ЩМ). Якщо функція К (s, t) вимірна в квадраті 0 < s < 1, 0 < t < 1 і для кожної пари функцій х (t) ? (№>) і у (в) ? де р > 2 і q > 2, маємо і і ff\ K (s, t) х (t) у (в) | ds dt < oo, (9) 0 0 то вираз (8) є лінійною операцією, означеною в, (Х(р))? протиобласть якої лежить в (Ції). Справді, для будь-якого даного х ? (D&) для кожного у ? [іЛя-ї/] маємо: її і г і JfK (s, t) x (t) у (s) dsdt^fy (s) I fK (s, t) x (t) dt 0 0 0 i-0 ds, звідки (див, ст. 73)fK(s,t)x(t)dt?(L(&); отже, на підставі (8), U (х) о є лінійна операція. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)