Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
78 Розділ V. Простори типу (В) задовольняє умову Аі(х) = тц для і — \, 2, ... Кажемо, що метод В (що відповідає таблиці (В) = {{&ж}}) є не слабший від А, якщо кожна послідовність, сумовна за методом А, є також сумовна за методом В. Нарешті, метод А зветься досконалим, якщо він є одночасно перманентний, оборотний і такий, що з умов 2 І «і і < оо і 2<*-іЯік — 0 для к = 1, 2, ... (10) випливає а,- — 0 для кожного і — 1, 2, ... (11) Теорема 10. Щоб метод А був перманентний, необхідно і достатньо, щоб задовольнялись одночасно такі умови: 00 1° 2 ctik І < М для кожного і — 1, 2, ..., *і 2° 1іта,тс = 0 для кожного k = 1, 2, ..., і-*-оо 3° lim J 00 Доведення. Необхідність. Із збіжності ряду 2аік^>ь Для кож" ь=і ної збіжної послідовності х = (Efc) і кожного і = 1, 2, ... випливає 00 (див. ст. 73; для (с)) абсолютна збіжність ряду 2аік. Отже, функщо- к=і х нали Аі(х), означені в просторі (с), є лінійні, а тому що вони утворюють збіжну послідовність, на основі теореми 5, ст. 68, задовольняється умова 1°. Нехай, з другого боку: ?? = 1 для г = 1, 2, ...,?" = О для іфп і ?2 = 1 для п = 1, 2, ... Покладемо хп = {?"} для те — 1, 2, ... Для 00 натуральних і і те маємо Аі(хо) = 2аік і ^4і(#л)=ат; отже, ьі А (х0) = 1 і 4 (#п) — 0 для те > 0, тобто задовольняються умови 2° і 3°. Достатність трьох умов випливає з теореми 3, ст. 68, і з властивості, що так означена послідовність {хп} в просторі (с) фундаментальна. 1 Цю теорему подав О. Toeplitz (Vber allgemeine linear e MiUelbiMungen, Ргасе Mat. Fiz. XXII, Варшава (1911), ст. 113—119). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)