Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 7. Деякі теореми про методи сумації 79 Лема 1. Нехай А — перманентний метод і у0 = {*$} — збіжна послідовність. Якщо для кожної послідовності {а/} з умов (10) випли- ває рівність ? ои^ц — 0, то для кожного числа є > О існує тата збіою- на послідовність ху що маємо: І А / \ 0 1 .-•«* С\ ' * Т С\ /1 С\ \ Доведення. Позначимо через G множину всіх збіжних послідовностей {гц}, яким відповідають такі збіжні послідовності х, що гц = — Аі{х) для г = 1? 2, ... Розглядаючи так визначену множину G в просторі (с), бачимо, що вона утворює векторіальний простір. Якщо у0 не є точкою скупчення множини G, то згідно з лемою (розд. IV, § 3), ст. 48, існує такий лінійний функціонал F (у), означений в (с), що F (у0) = 1 і F (у) = 0 для всіх у ?G. Отже, зважаючи на загальний вигляд лінійних функціоналів у просторі (с) (див. розд. IV, §4, ст. 56), існує така послідовність чисел {а*}, що ряд ^а* абсолютно збіжний і 2ацуц + a lim гц — 0 для {гц} ?<2, (13) 00 H^i^U + alimTjJ = 1. (14) Тому що метод А є перманентний, то на підставі (13) маємо оо 2 oLtAt (x) + a lim Ek = 0 для всіх х = (?Л ? (с) (15) і з попередньої теореми 10 випливає існування числа М, яке задовольняє умови 1°. Тим самим маємо У У «а І'U*І <М' -ТІ « звідки (Щ Докладаючи для сталого натурального к, \к = 1 і ?„ = 0 для п ф к, з (15) робимо висновок, що 00 = 0 для А? = 1, 2, ... (17) |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)