Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 7. Деякі теореми про методи сумації 81 Доведення. З оборотності методу А випливає (див. розд. III, § 6, теорема 10, ст. 39, і зауваження, ст. 42) існування послідовності {а*} і таблиці {(3**}, що задовольняють такі умови: (21) < оо для к — 1, 2, . . ., ящо для кожної збіжнт послідовності у = {г\і} покладемо: оо Ik = fk (У) = 2 $ik W + «fe Mm T(]f, де & = 1, 2, . . ., пїо одержимо 00 = 7)і ДЛЯ І = 1, 2, ... (22) Так означені в просторі (с) функціонали Д(у) є лінійні. А тому що для ксжної збіжної послідовності у відповідна послідовність х = {^} є сумовна за перманентним методом (В) за умовою, то кож- 00 00 ний з рядів ^ bikc,k є збіжний, і послідовність їх сум {Ві(х)\ є також збіжна. Покладемо для кожного у ? (с): І •Fi (2/) = І 6а /* (у) для » = 1, 2, ... і J1 (у) = Ит^і (у). &=1 ?->«> Та-к означені функціонали JPf (у) є лінійні і на підставі теореми 4 (розд. І, § 3), ст. 21, ту саму властивість має функціонал F(y). Нехай після цього, згідно з умовою, х0 — дана послідовність, а, х — збіжна послідовність, що задовольняє умову (18). Докладаючи: у0 = {Аі(х0)} і у = {Аі(х)}, одержуємо 0T5KG у — уо В (х) -В (х0) \ = \F (у) -F (у0) | < \F\ • є, (23) А(хо)-А(х)\ \ і тому що ^4 (х) = і? (я), маємо | J. (о:о) —Б (х0) \ < 1 'Б(^)—В(хо)\, звідки на підставі (18) і (23): F | • є + є? тобто маємо рівність ^4 (а;0) = Б (х0), що й треба було довести. Леми 3 і 4 дають Теорему 11. Якщо перманентний метод В є не слабший від перманентного і оборотного методу А, то кожна обмежена послідовність, 6 С. Банах. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)