Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
РОЗДІЛ VI. ЦІЛКОМ НЕПЕРЕРВНІ І СПРЯЖЕНІ ОПЕРАЦІЇ. § 1. Цілком неперервні операції. Лінійна, операція U(x) називається цілком неперервною, якщо вона кожну обмежену множипу перетворює на компактну множину. Приклад. Якщо для г = 1, 2, ..., п позначимо через Хі лінійні функціонали, а через xt елементи, то операція Щх) = ?Хі (х) - хі є цілком неперервна. Теорема 1. Протиобласть кожної цілком неперервної операції є сепарабельна. Доведення. Тому що множина Оп всіх U (х), де | х | < п, є компактна і тим самим сепарабельнах, то сепарабельною буде також мно- оо жина 2! @п9 яка є протиобластю операції U. Теорема 2. Якщо {Un(x)} є послідовність цілком неперервних лінійних операцій, то кожна така лінійна операція U (х), що lira | Un - U | = О, б також- цілком неперервна. Доведення. Нехай {#*} — обмежена послідовність, а {?,•} вибрана з неї діагональним методом частинна послідовність, так що для всіх натуральних п існує lim Un(xi). Отже, для п = 1, 2, . .. маємо: U (хр) ~U(xq)\<\U (хр) - Un (хр) \-r\Un (хр) - Un { вііачить U (хр) - U (xq) | < | U - Un | • (| хр | + | хч І) + \Un (хр) - Un (*9 1 Див., напр., F. Hausdorff, 1. с, ст. 126, рос. пер. ст. 144. 6* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)