Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
84 Розділ VI. Цілком неперервні і спряжені операції 8відки очевидно ІЇт ] U (хр) — U {xq) | = 0. , p-feo Отже, послідовність {U(xi)} є збіжна, звідки виходить, що операція U(x) є цілком неперервна. § 2. Приклади цілком неперервних операцій у деяких окремих просторах. Якщо К (в, t) є неперервна функція для 0 < s < 1 і 0 < ? < 1, то функція (від змінної з) 1 u(s) =/K (в, t)x{t)dt (1) о є також неперервна для всякої інтегровної функції х (t). Коли вираз (1) розглядати як операцію, означену відповідно в просторах: (If), (С), (L) і (ЇМ)), де г > 1, (2) протиобласть яких лежить в будь-яі:ому з цих пр-остсрів, то операція {І) є цілком неперервна. Доведення спирається на таку теорему Arzeld: Щоб з послідовності неперервних функцій {ип (s)}, обмежених у своїй сукупності, можна було вибрати частинну, рівномірно гбіжну, послідовність, достатньо, щоб для кожного числа є > 0 існувало таке число у] > 0, що з нерівності: \s1 —б-2 | < т) випливала б нерівність | ип (Sj) —ип (s2) \ < є для всякого n = l, 2, ... Справді, припустимо, що || хп {t) || < 1; тоді для 0 < з < 1 і п = і = 1,2,... покладемо ип (s) — J К (з, t) xn {t) аЧ. З неперервності о функції К (s, t) виходить, що для кожного числа є > 0 існує таке число т] > 0, що з нерівності \вг — з2\ < vj випливає нерівність І(si> 0 — К (52> 0 І < є Для 0 < * < 1. Отже, і і \un(s1)—un{s2)\ < \f[K(8ly t)—K{82, t)]xn(t)dt\ <&'f\xn(t) \dt, о о 1 а звідси, на підставі нерівності J | xn{t) \ dt < || хп{І) ||, яку легко о перевірити в просторах (2), одержуємо формулу | ип (s^ —ип (s2) \ < є; отже, беручи на увагу теорему Arzela, можна з послідовності функцій {'Mn(s)} вибрати рівномірно збіжну послідовність. А тому що рівномірно збіжна послідовність функцій у просторах (2) є також збіжна за нормою (прийнятою в тих просторах), то виходить, що операція (1) є цілком неперервна. |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)