Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 2. Приклади цілком неперервних операцій 85 Зокрема маємо такі теореми: Простір (С). Щоб операція (1) була цілком неперервна в (С), достатньо припустити, що для кожного s0 маємо: і )imf\K (80, t) — К (s, t)\dt = 0. (3) Справді, на підставі умови (3), легко довести, що для кожного числа є > 0 існує таке число vj > 0, що з нерівності \вг — s2\ < т) і ^ипливає нерівність j \ К (su t) — К (s2, t) \ dt < є, а з цього вихо- о дить, як і вище, що операція (1) є цілком неперервна в просторі (С). Умова (3) виконується, наприклад, тоді, коли К (s, t) є обмежена функція і така, що іітК (s, t) = К (s0, і), для кожного s0 і майже всіх L Нарешті, зауважуємо, що операція y(s)=/K(s,t)x(t)dt є також цілком неперервна в просторі ((7), якщо тільки виконується умова (3). Простори (?(р)). Коли К (s,t) є вимірна функція в квадраті , 0<2<1, а г позначає найменше з чисел р і — ~т> q 1 де р > 1 і q > 1 > і якщо і і ff\K(s,t)\r~4sdt < оо, (4) о о то операція (1) є цілком неперервна в просторі (?(р))5 а її про- тиобласть лежить у просторі (ЬЩ. Справді, нехай {/fn(<M)} € така послідовність неперервних функцій, що 1 1 lira //1 Кп (в, t)—K (s, t) \г-Чв dt = 0. (б) о о Тому що операція у = Un {х) = j Kn {s, t) x (t) dt є цілком не- |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)