Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
§ 3. Спряжені (приєднані) операції 87 Так означений функціонал X є адитивний і неперервний, бо Х(х)\ <|7[*7(я)]|<|Г|-|Е7Нж|,звідки|Х|<|7|-!#|. (7) Співвідношення (6) між функціоналами X і Y визначає нову операцію область.якої є простір Ег лінійних функціоналів, означених у просторі ЕІУ а протиобласть лежить у просторі Е функціоналів, означених у просторі Е. Операція U (Y) зветься спряженою (або приєднаною) з U(x). Згідно з властивістю (7) вона адитивна і неперервна. Теорема 3. Якщо U (Y) є операція, тряжена з лінійною операцією U(x), то | U\ = | U\. Доведеним. З одного боку, для кожного х ? Е маємо: \Y[U{x)]\<\Y\-\U\-\x\, ЗВІДКИ \u(Y)\ = \Y(U)\<\y\-\u\; і тим самим \п\<\Щ. (8) З другого боку, якщо дано довільний елемент х01Е, то, на підставі теореми 3 (розд.. IV, § 2), ст. 46, існує такий лінійний функціонал Yo, означений в ЕІ9 що |У0|=1 і | Y0[U(x0)] \ = = | U (*„)_[; отже: | Щхо)\ = j Y0[U(хо)]\ < \U\ • |Т0| • |«b| = = ! U | • | .г'о |; звідси | U (а?0) | <• | U \ • \ cs01 і тим самим, \Щ<\Щ- (9) Нерівності (8) і (9) дають рівність, що її треба було довести. Теорема 4. Якщо лінійна операція U(x) є цілком неперервна, то й спряжена операція U (У) є також цілком- неперервна: тобто, якщо | Г„ | < М, то існує така послідовність {Ym} і такий функціонал X, що: ]im\U(Ym)-X\=Q. (10) Доведення. Тому що протиобласть G d^i операції U (ж), на підставі теореми 1, ст. 83, має густу вчисленну множину, то на основі теореми 3 (розд. V, § 1), ст. 68, з послідовності функціоналів {Yn}> де | Yn \ < ЗІ, можна вибрати частинну послідовність {Уш}? збіжну для всіх у Є G. Покладемо, Km Ym[U(x)] - lim XM(x) =X(x). |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)