Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
S? Розділ VI. Цілком неперервні і спряжені операції Нехай елемент Хі ? Е задовольняє умови: |**| = 1 і \Xtxi)-Xm(xi)\>j\X-Xni\. (11) Якщо теорема була б несправедлива, тобто якщо існувало б таке число т) > 0, що | X —Хт \ > г) для t = 1, 2, ..., то, покла- даючи Y\ —¦ Ym, на підставі (11) було б І Ті [U(xt)] — lim Y] [U{xi)] I > •? (12) і існувала б (тому що |о?і| = 1) така послідовність індексів {Щ що lim U (Xk{) = yQ. Тоді для довільного числа є > 0 існувало б таке число N, що з нерівності і> N випливали б нерівності | yQ — U(xki) I < є і | Y'ki (у0) — lim Y'ki{y0) | < є, звідки - Ит Y'kj [U{xki)\ \<\Y'ki \U{xki) - y0] \ + що на підставі (12) не можливе, бо число є довільно мале. § 4. Застосування. Приклади спряжених операцій у деяких окремих просторах. Простір (С}. Якщо К (s, t) — неперервна функція в квадраті 0<б<1і0<?<1, то вираз і U(x)=fK(s,t)x(t)dt о є неперервна операція. Нехай Y («/), де у ? (С), будь-який лінійний функціонал. Тому що цей функціонал означений у просторі (О), то він (див. розд. IV, і §4, ст. 51) має вигляд Y(y) —Jy(t)dY(t), де Y(t) функція обме- 0 зкенрї варіації. Функціонал Х{х) — Y[U(x)) є також лінійний у просторі (С), отже, він має також вигляд і X(x)=fx(t)dX(t), (13) о де X (і) є функція обмеженої варіації (можемо припустити, що X (0) = 0). Отже, покладаючи: і у (s) = V{x) =/K (s, t) x (t) dt, (14) о |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)