Головна
Природничі
| Попередня | Наступна |
|
ПЕРЕДМОВА. Предметом досліджень теорії операцій, яку створив V. Vol- terra, e функції, означені в просторах з нескінченною кількістю вимірів. В багатьох дуже важливих областях математики ця теорія дала значні результати; досить згадати, що теорія інтегральних рівнянь і варіаційне числення стали окремими випадками основних розділів загальної теорії операцій. Методи класичної математики з'єдналися в цій теорії цілком гармонійно і дуже тісно з модерними методами. Вона дозволяє часто інтерпретувати цілком несподіваним способом теореми теорії множин або топології. Так, наприклад, топологічну теорему про інваріантну точку можна за допомогою теорії операцій перекласти (як це показали Kellogg і Birkhoff) на класичну теорему про існування розв'язків диференціальних рівнянь. Є такі важливі розділи математики, що їх неможливо грунтовно дослідити без допомоги теорії операцій. До них належать сьогодні: теорія функцій дійсної змінної, інтегральні рівняння, варіаційне числення та інші. Зважаючи на свої естетичні властивості та на важливість своїх досліджень (якщо не брати навіть на увагу її численних застосувань), теорія заслуговує на щораз більше зацікавлення математиків. Отже, для нас не буде дивною думка Hadamard'a, який вважає теорію операцій за один з наймогутніших методів дослідження сучасної математики. Ця книжка містить у собі першу частину алгебри операцій. Вона присвячена дослідженню операцій, названих лінійними, яке відповідає дослідженню лінійних форм агхх -f а2х2 -\ -j- апхп алгебри. Поняття лінійної операції можна означити так. Нехай Е і Е1 — два простори, утворені з. довільних елементів, причому в них означено асоціативне додавання й нульовий елемент. Нехай у = U{x) є функція (операція, перетворення), яка кожному елементові х простору Е припорядковує елемент у просторі Ег (в окремому випадку, коли Ег є простір дійсних чисел, то цю функцію називають також функціоналом). Коли для будь- яких елементів «j і #2 простору Е маємо U(x1 -f #2) = U{xx) -\- + U(x2), то операцію U(x) називають адитивною; якщо Е і Ех — метричні простори, тобто в кожному з них є означена віддаль двох елементів, то можна розглядати неперервні операції ї)(х). Операції, що є одночасно адитивні й неперервні, називають лінійними. 1* |
Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)