ВСТУП. А. Інтеграл Lebesgue'a-Stieltjes'a. Припускаємо, що читач знає теорію міри і теорію інтеграла Lebesgue'a1. § 1. Деякі теореми з теорії інтеграла Lebesgae'a2. Якщо вимірні функції хп (І) обмежені в своїй сукупності і послідовність {xn(t)} майже всюди збігається в замкненому інтервалі [я, Ь] до функції x(t), то маємо: ь ь lira f хп (t) dt = f x {t) dt. (1) Загальніше, якщо існує така сумовна функція <р (і) > 0, що \%n(t) | < <р (t) для п — 1, 2,..., то гранична функція також сумовна і задовольняє рівність (1). Якщо функції хп(і) сумовні в [а, Ь] і утворюють неопадну послідовність, збіжну до функції х {t), то має силу рівність (1), коли функція х (і) сумовна, і ь lim [ хп (t) dt = -{- со, коли функція не сумовна. Коли функції хп (І) сумовні з їх р-тими степенями (р > 1), а послідовність {xn{t)} майже всюди збігається до функції x{t), b і f\xn(t)\p dt <К для кожного п = \, 2,..., то функція х (t) також a сумовна з її #-тим степенем3* 1 Див,, наприклад, С. de 1а Vail6є Poussin, Integrates de Lebesgue. Functions d?ensemble. Classes de Baire, Paris, Gauthier-Villars (1916), або EL Lebesgue, Lecons sur V'integration, 2 - me Edition, Paris, Gauthier-Villars (1928), g російський переклад А. Лебег, Интегрирование и отьіскание примитив- нмх функций ГТТИ (1934). 2 Див., наприклад, С. de la Vall6e Poussin, 1. cit., ст. 49. 8 Див. E. W. Hob son, The Theory of Functions of a real variable . . . , 2-nd Edition, Cambridge (1921—1926), vol. І, ст. 300.
|