Бібліотека Dokladno - наукова та навчальна література

Головна

Природничі

Ви переглядаєте книгу:

Банах С.С.
Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)

Сторінка (загалом з 2 до 219):
Попередня 
Наступна

ВСТУП.
А. Інтеграл Lebesgue'a-Stieltjes'a.
Припускаємо, що читач знає теорію міри і теорію інтеграла
Lebesgue'a1.
§ 1. Деякі теореми з теорії інтеграла Lebesgae'a2.
Якщо вимірні функції хп (І) обмежені в своїй сукупності і
послідовність {xn(t)} майже всюди збігається в замкненому
інтервалі [я, Ь] до функції x(t), то маємо:
ь ь
lira f хп (t) dt = f x {t) dt. (1)
Загальніше, якщо існує така сумовна функція <р (і) > 0, що
\%n(t) | < <р (t) для п — 1, 2,..., то гранична функція також сумовна
і задовольняє рівність (1).
Якщо функції хп(і) сумовні в [а, Ь] і утворюють неопадну
послідовність, збіжну до функції х {t), то має силу рівність (1), коли
функція х (і) сумовна, і
ь
lim [ хп (t) dt = -{- со,
коли функція не сумовна.
Коли функції хп (І) сумовні з їх р-тими степенями (р > 1), а
послідовність {xn{t)} майже всюди збігається до функції x{t),
b
і f\xn(t)\p dt <К для кожного п = \, 2,..., то функція х (t) також
a
сумовна з її #-тим степенем3*
1 Див,, наприклад, С. de 1а Vail6є Poussin, Integrates de Lebesgue.
Functions d?ensemble. Classes de Baire, Paris, Gauthier-Villars (1916), або
EL Lebesgue, Lecons sur V'integration, 2 - me Edition, Paris, Gauthier-Villars
(1928), g російський переклад А. Лебег, Интегрирование и отьіскание примитив-
нмх функций ГТТИ (1934).
2 Див., наприклад, С. de la Vall6e Poussin, 1. cit., ст. 49.
8 Див. E. W. Hob son, The Theory of Functions of a real variable . . . ,
2-nd Edition, Cambridge (1921—1926), vol. І, ст. 300.

Bи можете завантажити дану книгу в DJVU-форматі для ознайомлення:
скачати Банах С.С. Курс функціонального аналізу (Лінійні операції)